四轮全向轮的运动学模型 — 物理＆数学模型的全面解算
越努力，越幸运，越拼搏，越自由
引言
在浙江省第八届＆第九届机器人竞赛中，超市购物组机器人的底盘设计方向逐渐趋于全向轮的使用，在比赛中，几乎所有的队伍都已配置全向轮。但是，在网络检索四轮全向轮的运动模型解算结果中，很少有对四轮全向轮的物理模型进行解释，更多的是数学模型的公式推导。直接利用现有的成熟数学模型，固然可以成功实装全向轮运动，完成对小车的全向速度控制，但建立物理模型可以更大程度的理解全向轮运动。因此，本文根据自由度对全向轮小车车速进行矢量分解与叠加，从简单模型开始，巧妙的对全向轮小车物理模型进行分析，更具体地描绘了全向轮小车的运动，加深对全向轮模型的理解。
1.1 自由度定义
在求解四轮全向轮的运动学公式之前，我们需要明晰轮速与车速之间的关系：
1. 车速不等于轮速的矢量和
例如：汽车的四轮均以向前的 1m/s 速度转动，最终的车速为向前的 1m/s，而不是 1 * 4 = 4m/s ，此条不做过多赘述。
2. 在某一方向上，所有的主动自由度速度，都不会对小车的运动产生滑动摩擦，那么小车就会沿着此方向有一可叠加的矢量车速
车轮可以分为主动轮与从动轮，因此根据此定义，在本文模型中，将自由度分为主动自由度和被动自由度两种，并构建以下两个小车模型来阐述以上关系：
- 注：图中橙色表示主动自由度，蓝色表示被动自由度，下文同理
左图中，四个主动轮构成了四个方向相同的主动自由度，当四个主动轮都产生一个 V 的向前速度，那么小车也会向主动自由度的方向，以 V 速度向前行驶；当某一个主动轮的轮速增大为 2V 时，此时小车四个主动轮的速度不一致，就势必会产生滑动摩擦，应引入更复杂的模型进行解算。
右图中，小车前轮为两个主动轮，后轮为两个从动轮（万向轮）。当两个前轮都以 V 速度向前转动时，小车会沿着主动自由度方向，以 V 速度行驶；当右前轮速度增大至 2V 时，由于后轮为从动轮，不会对小车的运动产生滑动摩擦（滑动摩擦在运动时是必然存在的，此处讨论的是理论系统上，轮速不一致产生的滑动摩擦）。因此，小车依然会沿着主动自由度方向运动，由于前轮转速不一致，小车会逆时针旋转行驶，此时的主动自由度会随着车体旋转而旋转（因主动自由度方向与车轮方向一致），并始终与车速方向保持一致。
1.2 全向轮模型建立
全向轮的结构与模型的建立：
- 全向轮 3D 模型中主轴（电机）旋转的方向为主动自由度方向，滚子旋转的方向为被动自由度方向
- 各个滚子的被动自由度都与主动自由度空间垂直
- 简化得到全向轮模型，拥有一个主动自由度和一个被动自由度，两个互相垂直的自由度矢量叠加，即可得到任意方向的任意速度
1.3 四轮全向轮底盘物理模型建立
根据我们协会使用的四轮全向轮底盘结构，可以建立拥有四个主动自由度和四个被动自由度的物理模型。受到电路中叠加定理的启发，我将该四轮全向轮底盘模型分解为两个模型的叠加。
在两个模型中，各自的主动自由度和被动自由度方向一致，只要保证两个主动轮的轮速一致，就可以产生方向为主动自由度方向的相应车速。由于模型各自都没有因轮速不同产生滑动摩擦，并且两个模型产生的车速方向相互垂直，通过车速的矢量叠加，可以得到该全向轮底盘的最终车速。
1.4 四轮全向轮底盘数学模型建立
- 实际搭建的全向轮底盘，其四个电机的转速正方向应以逆时针或顺时针规则分布。由此，我们对四个轮子的正方向进行逆时针定义，如上图箭头所示
- 虽然直接将机器人坐标系（速度坐标系）定义在主动自由度方向上会简化计算，但由于实际使用中，横轴与纵轴的定义更符合常理，也更利于移植与扩展。因此，对速度在横轴与纵轴上做分解，以 X 轴正方向为正，Y 轴正方向为正，分为 Vx 和 Vy
- 最后，只需将 Vx 和 Vy 再次分解到机器人的两个主动自由度上，通过同一自由度上的两个速度叠加，即可得到四个轮子的最终转速。
ps：在得出的公式后都加上 wL ，即可让底盘解算具有自转功能
1.5 参考程序
当全局坐标系与机器人坐标系重合时，代码如下：
void chassis_move(float target_speed, float target_theta, float target_omega) {
//target_speed 速度大小；target_theta 速度方向；target_omega 自转速度
chassis.Radius = 300; //底盘半径
float speed[4]; //速度计算值
float speed_X = target_speed * cos(target_theta); //全局坐标系下的x轴速度
float speed_Y = target_speed * sin(target_theta); //全局坐标系下的y轴速度
speed[0] = ( - speed_X - speed_Y + chassis.Radius * target_omega) / sqrt(2);
speed[1] = ( speed_X - speed_Y + chassis.Radius * target_omega) / sqrt(2);
speed[2] = ( speed_X + speed_Y + chassis.Radius * target_omega) / sqrt(2);
speed[3] = ( - speed_X + speed_Y + chassis.Radius * target_omega) / sqrt(2);
for (int i = 0; i < 4; i++){
MotorController_SetSpeed(i+1,(int)speed[i]);
}
}1.6 番外...
写博客累累的捏......😣我看谁不一键三连😡😡😡
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